Lösung Perfekte
Magische Matrix MM2007

GEDÄCHTNISTRAINING + GEDÄCHTNISTESTS
Gehirneinsatz
für Zahlen


Gedächtnistraining + Gedächtnistests im Wissensspektrum
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Lernen optimal zu lernen mit linker und rechter gehirnhälfte : für allgemeinbildung, fachwissen und auch e-commerce

Prof. Dr. Wolfram Stanek - Training im interdisziplinären Wissensspektrum

STRATEGIEN
Mathematik
"Perfekte" Magische Matrix => STRATEGIE ?
+ STRATEGIEN
für beide Gehirnhälften
nis
STRATEGIE + GEDÄCHTNIS:  Entwicklung einer "perfekten" magischen 4 x 4 Matrix mit pandiagonalen Eigenschaften
( als zusätzliches Kriterium sog. "ultramagischer Quadrate" bzw. "diabolic squares" ) für beliebige Summenzahlen X
Original-Lösung von Prof. Stanek: Perfect-Magic-Matrix 396 (Lösungszeit 50 s)

ANMERKUNG 1 von Prof. Stanek zu dieser Kurz-Einführung "Charakteristika Magischer Matrizen":
Diese Kurz-Einführung in wichtige Charakteristika der Magischen Matrizen ist auch für die Leser gedacht,
die noch NIE mit der partiell recht komplizierten Matrizen-Algebra der Mathematik in Berührung gekommen sind.
Schon einfachere Magische Matrizen - wie vor allem die von Albrecht Dürer - können daher mit Logik, strategischem
Zahlen-Denken, strukturierter Visualisierung und verschiedenen, angegebenen Hilfestellungen gelöst werden.
Die Resultate mathematisch hinterlegter Grundgesetze werden, wie z.B. in obigen Bildern skizziert, grafisch visualisiert.
Ziel dieser Webseiten ist deshalb auch - ohne Kenntnisse komplexer Matrizen-Mathematik - mit Strategie, Visualisierung
und Logik Ergebnisse aus der Matrizen-Mathematik zu erkennen und (in einigen Fällen selbst) nachvollziehen zu können.
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Nachfolgend das grafisch visualisierte Prinzip einer ultramagischen Matrix für Zahlen von 1 bis 16 (ohne Zahlenwiederholungen):

grafisch visualisiertes Prinzip einer ultramagischen Matrix für Zahlen von 1 bis 16 (ohne Zahlenwiederholungen)

Aufgabe 1: Überprüfen Sie bitte so schnell wie möglich, ob die bereits bei der Dürer-Matrix erläuterten Matrizen-Magie-Prinzipien
in diesem Beispiel erfüllt sind. (In der magischen Dürer-Matrix sind bekanntlich nicht alle "perfekt" magischen Details beinhaltet)
Nur das schnelle Überprüfen durch Addieren und Vergleichen ist schon gutes Kopfrechnen und Gehirnjogging für 16 Kriterien!
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In den obigen Bildern sind 7 zentrale Kriterien für Magische und Magisch "perfekte" Matrizen grafisch hervor gehoben:
Summen für Zeilen, Spalten und beide Hauptdiagonalen konstant = 396 (oberstes Bild) + für 4 Ecken-Quadrate = 396,
+ für zentrales Mitten-Quadrat = 396 (linkes Bild) + für weitere 4 "verschobenene" Seitenmitten-Quadrate = 396 (rechtes Bild).
Bei der magischen Dürer-Matrix sind alle 4 Seitenmitten-Quadrate nicht magisch.  
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Überprüfen Sie auch, ob weitere 9 Kriterien für magische und magisch "perfekte" Matrizen
bzgl. Rand-Symmetrien in horizontaler, vertikaler und diagonaler Richtung erfüllt sind:
z.B. [(91 + 106) + (105 + 94)] = 396, oder [(103 + 97) + (104 + 92)] = 396  etc.
Hierzu gehört auch, dass die Summe aller 4 Ecken-Felder = 396 und die der beiden diagonalen
Ecken-Rechtecke [(97+94) + (104 + 101)]  = 396 und [(95 + 92) + (106 + 103)] = 396 immer konstant ist.
Bei der magischen Dürer-Matrix sind 4 der obigen 9 Rand-Symmetrien nicht erfüllt.
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Wichtig ist auch im Gegensatz zu Sudoku, dass sich hier KEINE einzige Zahl in der GESAMTEN MATRIX wiederholen darf !
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ANMERKUNG 2 von Prof. Stanek zu "Charakteristika sogenannter ultramagischer Matrizen":
Laut  Wikipedia-Open-Source-Enzyklopädie
werden magische Matrizen, deren "gebrochene" Nebendiagonalen
wie die dazu parallelen Hauptdiagonalen ebenfalls die konstante Summenzahl X - in unserem Fall 396 -
aufweisen, in die mathematische Klasse der pandiagonalen magischen Quadrate eingereiht.
Was man unter diesen "pandiagonalen" gebrochenen Nebendiagonalen versteht, ist aus unten angegebenem Bild ersichtlich.
Es gibt bei 4 x 4 - Matrizen sowohl 4 große Nebendiagonalen mit jeweils 3 Elementen innerhalb der Matrix
und 1 Feld außerhalb des Quadrates als auch 4 kleine Nebendiagonalen mit jeweils 2 Elementen innerhalb der Matrix
und 2 Feldern außerhalb des Quadrates. Die außerhalb der Matrix liegenden (fehlenden) Elemente
der Nebendiagonalen werden durch die an der jeweiligen Kante gespiegelten Elemente innerhalb der Matrix ergänzt.
2 Beispiele verdeutlichen das Prinzip dieser pandiagonalen Eigenschaften:
Beispiel 1: Eine der 4 großen Nebendiagonalen mit jeweils 3 Feldelementen innerhalb des magischen Quadrates wird von
den Zahlen (97 + 96 + 101) gebildet. Sowohl nach rechts oben, als auch alternativ nach links unten verlängert ergibt sich
das gespiegelte vierte (noch fehlende) Feldelement 102, also wieder die Gesamt-Summe (97 + 96 + 101) + 102 = 396.
Beispiel 2: Eine der 4 kleinen Nebendiagonalen mit jeweils 2 Feldelementen innerhalb des magischen Quadrates wird von
den Zahlen (95 + 92) gebildet. Diese spezielle kleine Nebendiagonale nach rechts oben verlängert, ergibt das an der
vertikalen Kante gespiegelte 3. Feldelement 103. Nach links unten verlängert ergibt sich das an der
horizontalen Kante gespiegelte 4. Feldelement 106, also wieder die Gesamt-Summe (95 + 92) + 103 + 106 = 396 etc.
Die Konstruktion der 4 kleinen Nebendiagonalen entspricht in der Summe den 2 inneren diagonalen Ecken-Rechtecken.
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Wenn diese zusätzlichen pandiagonalen Eigenschaften bei 4x4-Quadraten konstruiert werden können, bezeichnet man
symmetrische, magische Matrizen nach Wikipedia auch als ultramagische Quadrate ( in Englisch diabolic squares ).
Das in der Wikipedia-Enzyklopädie angegebene ultramagische Quadrat mit den Zahlen 1 bis 16
unterliegt jedoch einer anderen Entwicklungs-Systematik als in der hier von W. Stanek verwendeten Strategie.
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Die von W. Stanek verwendete Strategie liefert nach der Definition für symmetrische, magische Matrizen mit zusätzlich
pandiagonalen Eigenschaften auch bei der 396-Matrix ein sogenanntes " ultramagisches Quadrat " (siehe folgendes Bild).

Bei der magischen Dürer-Matrix sind die 4 kleinen "gebrochenen" Nebendiagonalen zwar pandiagonal magisch.       
Die 4 großen "gebrochenen" Nebendiagonalen sind jedoch - im Gegensatz zu unterem Bild - nicht magisch:            
Dürer-Matrix-Summenzahl = 34, ihre großen "gebrochenen" Nebendiagonalen ergeben aber 22, 30, 38, 46 = ungleich 34.
pandiagonale Zusatz-Eigenschaften einer magischen Matrix (hier 396) als Kriterium für eine sog. ultramagische Matrix ("diabolic square")

Aufgabe 2: Überprüfen Sie bitte so schnell wie möglich als kleine Kopfrechen-Übung, ob alle 8 "gebrochenen"
großen und kleinen Nebendiagonalen tatsächlich 396 ergeben. Addieren Sie danach ebenso schnell, welche
Summenzahlen ungleich 34 sich bei der magischen Dürer-Matrix für die 4 großen Nebendiagonalen ergeben.

Aufgabe 3: Versuchen Sie nun aus obiger Matrix die zugrunde liegende STRATEGIE zu erkennen, die W. Stanek
für diese Aufgabe gewählt hat. Es gibt diverse Strategien - siehe auch obigen Wikipedia-Web-Link -
diese hier verwendete ist jedoch für eine schnelle Entwicklung eines "diabolic squares" recht gut geeignet.
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Lösungs-Hinweis
:  Versuchen Sie aus der Konstellation der Zahlen eine Strategie abzuleiten und danach
die Formel für die notwendige Start-Zahl aufgrund einer vorgegebenen Summen-Zahl X mit beliebigen Stellen zu finden..
X kann für diese Strategie jede beliebige, gerade Zahl sein: Die Strategie funktioniert also auch z.B. für X = 1438756 etc.
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Die Beschäftigung mit Strategien und Formel-Findung ist eine sehr gute Übung,
den eigenen strategischen IQ abzuschätzen und gleichzeitig zu trainieren.
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Geben Sie deshalb nicht gleich auf, wenn Sie bei Ihren ersten Versuchen noch keine Lösung finden sollten.
Jeder kann kreative Strategien und Formel-Findungen zum Leben erwecken - man muss sich nur damit beschäftigen.
Mit richtiger Strategie werden Magische Matrizen zum vergnüglichen, auch herausfordernden IQ BRAIN GAME,
sind gleichzeitig sehr gutes Gehirn-Jogging für Jung und Alt .... und für "ältere Semester" auch gutes Anti-Aging fürs Hirn.
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Anmerkung
: Selbst unter störenden Randbedingungen (laute Umgebung, Ablenkungen etc) ist mit "gut sitzender"
STRATEGIE + Kopfrechnen + Gedächtnis solche eine Matrix für beliebige Zahlen
magisch perfekt in < 60 Sekunden lösbar, wenn die Summen-Zahl nicht größer als 3-stellig ist.
Je größer die Zahl (4-, 5-, n-stellig), um so mehr zeitintensive Schreibarbeit muß für die Lösung verwendet werden.
Aber - außer für die Start-Zahl-Bestimmung und kleinen Kontroll-Checks während der Lösung - ist nur
ein etwas höherer Denk- und Kopfrechen-Aufwand auch für riesige, n-stellige Zahlen nötig.
Wichtig: Wenn ungerade Zahlen als Vorgabe für 4 x 4 -Matrizen verwendet W. Stanek eine andere, modifizierte Strategie.
Dies ist jedoch nicht Gegenstand dieser Webseiten - ebenso wird hier nicht auf Strategien eingegangen,
die Prof. Stanek bei Schnell-Lösungen von magischen 5 x 5 - bis hin zu magischen 8 x 8 - Matrizen verwendet.

Aufgabe 4: Sollten Sie die Strategie von W. Stanek erkannt haben, testen Sie sich doch selbst gleich mit dieser obigen und
anderen Zahlen. Fangen Sie jedoch erst mit kleineren geraden Zahlen größer 32 an, so dass keine negativen Zahlen auftreten.
Versuchen Sie, die berühmte Magische Matrix von Albrecht Dürer - die aber nicht perfekt magisch ist -
mit Hilfe der obigen Strategie nun so zu entwickeln, dass zwar wieder alle Summen = " 34 " sind,
aber nun eine "neue Dürer-Matrix" entsteht, die alle Kriterien einer Magischen Perfekten Matrix erfüllt !
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  Ein Lösungs-Beispiel - nur eines von x Varianten - finden Sie in unten angegebenem Link für  " überall Summe = 34 ",
wobei das Resultat jedoch mit mathematischen Spiegelungsgesetzen für Matrizen modifiziert wurde.
Erkennen Sie aus dem grafischen Vergleich der in diesem Link skizzierten Beispiel-Matrix mit der zugrunde liegenden
Ausgangs-Matrix - von Ihnen zu finden - das einfache Prinzip der verwendeten Spiegelungs-Gesetze?

Aufgabe 5: Sollten Sie die Strategie von W. Stanek erkannt haben, testen Sie sich nun mit der Summen-Zahl " 0 ". Stellen Sie
mit dieser Zahl " 0 " eine magische Matrix so auf, dass alle Kriterien einer Perfekten Magischen Matrix erfüllt sind.
Hinweis: Jetzt tauchen auch viele negative Zahlen in den einzelnen Feldern auf, damit die Quersumme immer gleich "0 " ist.
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Anmerkung: Da hier wesentlich weniger Ziffern, als bei obiger 396-Matrix von W. Stanek zu schreiben sind, kann man
diese Aufgabe mit "überall Summe = 0 " mit der selben STRATEGIE wie oben bei etwas Übung in ca. 30 Sekunden lösen.
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HILFE-Stellung: Zum Erkennen der unterlegten Strategie ist ein weiteres Beispiel. für die Zahl " 10 " angegeben.
Hinweis: Aus dem direkten Vergleich der beiden magischen Matrizen für Summe "396" und "10"
kann man mit einem "strategischen Zahlen-Auge" erkennen, wie eventuelle Divisionsreste in dieser
speziellen Strategie für "blitz-schnelles" Entwickeln und Kopfrechnen berücksichtigt werden müssen.


BEISPIEL für Magisch "perfekte" MATRIX mit " überall Summe = 10"

BEISPIEL für eine magisch "perfekte" MATRIX mit "überall Summe = 10"

BEISPIEL für Magisch "perfekte" MATRIX mit " überall Summe = 10"

BEISPIEL für Magisch "perfekte" MATRIX mit " überall Summe = 34"

Eine von x Varianten Nr.1 für eine optimierte 34-er Dürer-Matrix
mit magisch "perfekten" Kriterien hinsichtlich pandiagonaler, ultramagischer Matrizen :
BEISPIEL für eine magisch "perfekte" MATRIX mit "überall Summe = 34"
Strategie dieses Lösungs-Beispiels ist analog, jedoch mit Spiegelungen modifiziert.

BEISPIEL für Magisch "perfekte" MATRIX mit " überall Summe = 34"

BEISPIEL für eine magisch "perfekte" Stanek-GeburtsDatum-MATRIX mit "überall Summe = 34"

Eine von x Varianten Nr.2 für eine optimierte 34-er Dürer-Matrix
mit magisch "perfekten" Kriterien hinsichtlich pandiagonaler, ultramagischer Matrizen :
BEISPIEL für eine magisch "perfekte" Stanek-GebDat-MATRIX mit "überall Summe = 34"
Strategie dieses Lösungs-Beispiels ist analog zu Variante 1, aber mit Spiegelungen modifiziert.

BEISPIEL für Magisch "perfekte" MATRIX mit " überall Summe = 34"


Original-Lösungsblatt mit Schnell-Lösung (50 Sekunden) von Prof. Stanek:
BEISPIEL für eine magisch "perfekte" MATRIX mit "überall Summe = 396"
nach Zahlen-Vorgabe des 3-fachen Gedächtnisweltmeisters Andi Bell am 28.07.2007
BEISPIEL für Magisch "perfekte" MATRIX mit " überall Summe = 10"

Anmerkung: Boris Nikolai Konrad (mit tollem Weltrekord im Wörter-Merken 227 in 15 min vom 28.07.07)
entwickelte bei der Abend-Veranstaltung der Memo Masters 2007 eine magische Matrix mit der Zahl 666.

Magische 3D-Matrix (64-Zellen-Würfel) by Prof. Stanek:
BEISPIEL für einen manuell abgeleiteten magischen 4x4x4-Würfel
höchsten Perfektionsgrades: Vorgabe einer beliebig gewählten magischen
Start-Matrix durch Publikum Memomasters 2009
Einfache bis sehr schwierige Strategien in magischen 2D- und 3D-Geometrien

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